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    2011西南交通大学大学数学(非数学专业)竞赛试题
    1.(10分) 设不恒为常数的函数在有限区间上连续,在内可导,且.证明:存在,使得.
    证明: 在有限区间上连续且,在上必有最大值M与最小值m,不妨设存在,使……………………………………..4'
    存在,使得………………………………………...7'
    存在,使得………………………………………10'

    2. (10分)计算
    解:原式………………………………….4'
    ……………………………………………………..7'
    …………………………………………………………………10'
    3. (10分). 已知曲线在点处的切线在轴上的截距为,求极限.
    解:在点处的切线:,……………………………….2'
    由在轴上的截距为得.……………………………………………..4'
    ….10'
    4. (10分)设,求.
    解:
    ………………………………………………………….4'
    …………………………………………………………7'
    …………………………………………………………………10'
    5. (10分)设在上二阶可导,且,证明:对有.
    解:令…………………………………………….2'
    ………………………………………..4'
    …………………………………………………………6'
    其中.又因,所以,故.
    从而单调递减.……………………………………………………………….8'
    当时,,即.………………………10'
    6. (10分)设函数满足方程,且由曲线,直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体体积最小,求.
    解:
    方程通解 …………………………………………………………….4'
    旋转体体积 = ……………7'
    令,………………………………………….9'
    …………………………………………………………………10'
    7. (10分)设的所有二阶偏导数都连续,满足,.求.
    解:…………………….3'
    从而
    …………………………………..5'
    ……………….7'

    于是,.…………………………….10'
    8. (10分)计算其中是在一,三象限部分.
    解:记在一,二,三四象限部分分别为.
    …..4'
    故……………10'
    9. (10分)计算三重积分,其中.
    解:
    ………………………………………3'
    ……………………………………………7'
    …………………………………………………………….10'
    10. (10分) 已知函数在中任意阶可微,并满足.求.
    解:…3'
    由,.故………………………………………….6'
    从而,而,故
    ,………………………………………………….8'
    于是.…………………………………………………….10'
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